MÉTODO SIMPLEX DE LAS DOS FASES
Min z=80X1 + 124X2
s.a:
X1 + 0.8X2 ≥ 100
X1 + 2X2 ≥ 200
X1, X2 ≥ 0
| 1)
Min z=0X1 + 0X2 + 0H1 + 0H2 + 1A1 + 1A2
s.a
X1 + 0.8X2 - H1 + A1 = 100
X1 + 2X2 - H2 + A2 = 200
X1, X2, H1, H2, A1, A2 ≥ 0
Donde H es una variable de holgura y A una variable artificial.
PRIMERA FASE
TABLA 1
 ·- En la primera fila se ubican los coeficientes de la función objetivo, por eso la fila inicia en la tercera columna con la notación Cj (costos de la función objetivo), que como se podrá ver son 0, 0, 0, 0, 1,1. En la segunda fila aparecen los nombres de las seis variables (X1, X2, H1, H2, A1, A2) coincidiendo cada variable con los valores o costos de la primera fila.
- En la primera columna ubicamos la notación XB que representa a las variables básicas y puede ver que bajo de ella aparecen, A1, A2. Cuando se inicia la primera fase del Simplex se debe empezar con las variables artificiales como variables básicas.
- En la segunda columna, segunda fila ubicamos la notación CB, esta notación representa a los coeficientes o costos de las variables básicas que aparecen en la primera columna, los cuales son: A1=1 y A2=1. Como se muestra en la tabla.
- En la tercera columna, segunda fila ubicamos la notación “b” que representa los valores de los lados derechos de las ecuaciones o restricciones del problema.
- En la cuarta columna, segunda fila ubicamos la variable X1 y debajo de ella los coeficientes respectivos en cada una de las dos ecuaciones.
- En la quinta columna, segunda fila ubicamos la variable X2 y debajo de ella los coeficientes respectivos en cada una de las dos ecuaciones.
- En la sexta columna, segunda fila ubicamos la variable H1 y debajo de ella los coeficientes respectivos en cada una de las dos ecuaciones.
- En la séptima columna, segunda fila ubicamos la variable H2 y debajo de ella los coeficientes respectivos en cada una de las dos ecuaciones.
- En la octava columna, segunda fila ubicamos la variable A1 y debajo de ella los coeficientes respectivos en cada una de las dos ecuaciones.
- En la novena columna, segunda fila ubicamos la variable A2 y debajo de ella los coeficientes respectivos en cada una de las dos ecuaciones.
- En la décima columna ubicamos la palabra “Ratio” y debajo de ella los cocientes que resultan de dividir el valor de cada “b” por el coeficiente de la variable que se elija como entrante a las básicas.
- En la quinta fila ubicamos la notación Zj que representa el resultado de multiplicar cada costo de las variables básicas por cada columna donde se ubican las variables del modelo.
- En la sexta fila ubicamos la notación Cj – Zj que es la diferencia entre los costos y los valores de Zj que calculamos en la fila anterior
ITERACIÓN 1
Una vez que hemos llenado la tabla procedemos a realizar el proceso de optimización (1ra. Fase) para lo cual se debe: -0.4*F4+F3 0.5*f4- Observamos la sexta fila y buscamos los Cj – Zj < 0 y podemos ver que hay dos valores -2 y -2.8, seleccionando al más negativo, o sea -2.8 correspondiente a la variable X2, que será la variable que entrará a ser básica.
- Una vez seleccionada X2 procederemos obtener los cocientes de cada b entre los coeficientes de X2. 100 0.8 ⁄ = 120; 200 2 ⁄ = 100, el cociente más pequeño es 100, esto indica que la variable básica que saldrá es A2.
- El número pivote es 2, por lo que procedemos a multiplicar por la fila por 0.5, con el propósito de que el número pivote sea uno. (ver tabla 2).
- Ahora debemos hacer cero el valor 0.8 encima del valor pivote para ello multiplicamos la fila 4 por -0.4 y el resultado se lo sumamos a la fila 3. (ver tabla 2)
- Ahora calculamos los Zj en cada columna de las variables del tabloide (ver tabla 2)
- Calculamos los Cj – Zj y los resultados los vemos en la tabla 2.
TABLA 2
ITERACIÓN 2
- Observamos la sexta fila y buscamos los Cj – Zj < 0 y podemos ver que hay dos valores -0.6 y -0.4, seleccionando al más negativo, o sea -0.6 correspondiente a la variable X1, que será la variable que entrará a ser básica.
- Una vez seleccionada X1 procederemos obtener los cocientes de cada b entre los coeficientes de X1. 20 0.6 ⁄ = 33.33; 100 0.5 ⁄ = 200, el cociente más pequeño es 33.33, esto indica que la variable básica que saldrá es A1.
- El número pivote es 0.6, por lo que procedemos a multiplicar por la fila por 1/0.6, con el propósito de que el número pivote sea uno. (ver tabla 3)
- Ahora debemos hacer cero el valor 0.5 debajo del valor pivote para ello multiplicamos la fila 3 por -0.5 y a la fila 4 por 0.6. y sumamos dichas filas (ver tabla 3).
- Ahora calculamos los Zj en cada columna de las variables del tabloide (ver tabla 3)
- Calculamos los Cj – Zj y los resultados los vemos en tabla 3.
TABLA 3
 Vemos los Cj-Zj de la tabla 3 y vemos que no hay ningún valor menor que cero, es decir que todos los Cj-Zj ≥ 0. Por lo que hemos llegado al fin de la 1ra. Fase. Esto nos permite pasar a la 2da. Fase.
SEGUNDA FASE
- Se sustituyen los Cj por los originales y se recalcula la solución
- Se eliminan las variables artificiales de la última tabla.
- Recalcula los Zi y los Cj-Zj
Obtenemos la siguiente tabla:
Observamos la sexta fila y buscamos los Cj – Zj ≥0 por lo que hemos llegado al óptimo.Por lo que la solución óptima será:
X1=33.33
X2=83.33
Z=80*33.33 + 124*83.33= 12,999.32=13,000
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